偏微分方程(暂停更新至至少12/27)

发布于 2021-12-11  16 次阅读


我没想到12.11日能够发生这么多事情,先是参加一个哥哥的婚礼,然后婚礼上见到好久不见的老同学(她长得比刘亦菲还好看!曾经我和她关系可好了是同桌,天天放学一起玩,可惜现在都要嫁人了,图片不表了,超好看还身高170cm的样子),但最尴尬的事情是我爸酒驾出事儿了,我就劝他别酒驾打个的吧,可他还是嬉皮笑脸跟猴儿一样自信觉得没事儿,厄运不找这种人那还会找谁?果然出车祸了,人生第一次看CT是看自己老爸的头部CT!但愿复查脑子也没出事。

熬夜更新这个章节,没有结束,依然需要更新。 2021/12/12 0:45 早起接着更新然后下午回去吧,嘿呀,俺不想为军方和院所服务了,我想去养狗场养狗去。

微分方程

微分方程

含有未知函数的导数或者微分的方程就是微分方程。

它极有可能会出现在中科院高等数学甲的大题的第一或者第二题,本文档在于对初级阶段的各种微分方程的求解方法做整理。

 

1,可分离变量的微分方程

 

1 形式: dydx=f(x)g(y) 2 特点:(1)已解出一阶导数 (2)右端是一个 x 的一元函数和一个 y 的一元函数的乘积 3 解法: (1)判断方程类型若是可分离变量方程,则 (2) g(y)0 时, dyg(y)=f(x)dx 分离变量 (3) dyg(y)=f(x)dx+C, 两边求积分 (4) 化简即得通解

或者可以看成如下的解题的过程:

f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0  (1)f1(x)f2(x)dx+g2(y)g1(y)dy=0   (2)f1(x)f2(x)dx+g2(y)g1(y)dy=C

第(1)式到第(2)式是 等式两边都除以dx因子包含的非x的函数g(y)和dy因子中的f(x)的乘积,此处即为:f2(x)g1(y),从而从(1)式转换到(2)式。


举例如下:

yxy=a(y2+y)dydxxdydx=ay2+adydx(1x)dy=ay2dx+ady(1xa)dy=ay2dxdx1xa=dyay2ln(1xa)=1ay1+C1y=1aln(1xa)+c

容易发现可分离变量的微分方程的求解的核心就是分离变量至带有dx因子的式子只包含x变量,带有dy因子的式子只包含y变量。

 

2,齐次微分方程

形如下面的方程且具有以下通用解题步骤的方程为齐次微分方程。

dydx=f(yx)u=yxy=xudydx=u+xdudxdydx=f(yx)=u+xdudx=f(u)duf(u)u=1xdx

可见解题方式是制造一个中介u,把yx、y、x统一为u和x的二元方程,这样就方便了。


(x2+2xyy2)dx+(y2+2xyx2)dy=0y|x=1=1x2+2xyy2+(y2+2xyx2)dydx=0dydx=y22xyx2y2+2xyx2=y2x22yx1y2x2+2yx1u=yxy=xudydx=u+xdudxdydx=u+xdudx=u22u1u2+2u1xdx=u22u1u32u2+uu2+2u1=u3u2u1u2+2u11du1xdx=u2+2u11uu2u3duln|x|+C1=u2+2u11uu2u3du=(1u+12uu2+1)du=ln|u+1u2+1|=ln|x|+ln|c2|u+1=Cx(u21)x+y=C(x2+y2)y|x=1=2C=1x+y=x2+y2

3,一阶线性微分方程

形如下面的形式且存在如下的求解方法的微分方程即为一阶线性微分方程。

dydx+P(x)y=Q(x)

(1) dydx+P(x)y=0 , 称为一阶线性齐次方程,用常数变易法,可以得到通解为:

y=CeP(x)dx

(2) dydx+P(x)y=Q(x) ,Q(x)!=0时,称为一阶线性非齐次方程,用常数变易法,可以得到通解:

y=eP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdx+C]

遇到题目懒得动脑子就把题目化简为上面所描述的形式按照通解公式求解就好了。


举例: 1

假设f(x)在[0,+)上面连续,且满足方程f(t)=e4πt2+x2+y24t2f(12x2+y2)dxdy

求解f(x)

解: 带入t=0,我们得到f(0)=1,这个是极其显然的结果,那么我们接下来化简方程的第二项的积分部分。

x2+y24t2f(12x2+y2)dxdy=02πdθ02tf(12r)rdr=2π02trf(12r)dr

f(t)=e4πt2+2π02trf(12)dr

f(t)=8πte4πt2+8πtf(t)

上面的式子中蓝色的部分就是我们要求解的偏微分方程了。

dfdt8πtf=8πte4πt2 长得和(2)式子一模一样,直接带入公式求解得到:

f(t)=f=e8πtdt[8πte4πt2e8πtdtdt+C]

=e8πtdt[8πte4πt2e4πt2dt+C]

=e4πt2[8πtdt+C]

=(4πt2+C)e4πt2 代入f(0) = 1, 得到 C = 1。因此我们得到最后的结果:

f(t)=(4πt2+1)e4πt2

 

 2 有些时候题目会稍微增加难度,伪装一下形式,把x和y的地位互换出题:

求解微分方程(x2xyy2)dydx+y2=0的通解

解:要是惯性思维的话把y视作x的函数,那么你看到y2时候会比较奇怪,因为前面提到的是P(x)y,y是一次阶数的,而这里是二次阶数且一眼看过去就消不掉阶数。同时我们注意到x是一阶的,所以考虑将x和y的地位互换试一试,毕竟x和y只是显示给人类看(或者说是人类的标记),他们的地位、性质相同,可以互换。

变形:

(x2xyy2)dydx=y2dxdy=y2+2xyxy2dxdy+12yy2x=1

接下来如何处理显然地很了,不做赘述。

 

4,倍努力(Bernoulli)方程

一阶微分方程dydx+p(x)y=Q(x)yn n0,1 被称为倍努力方程(我瞎翻译的,音译ヽ(*´∀`)ノ),这里使用变量代换z=y1n,可以转化成z的一阶线性方程。

dzdx+(1n)P(x)z=(1n)Q(x)

这样就完全可以使用上面第三节的第二小节的解题方法求解,只是P(x)和Q(x)的系数乘以(1n)而已,解完z和x的关系式后把z代换为y的函数就好了。

此方程的重要特征: 一个自变量只存在一次项,另一个变量只存在两种次数项(1和n)。

 

5,二阶常系数微分方程

一般而言,在这里出题不太难也不太简单,十分合适在大题的第一或第二道题出现。

(1)方程解的性质

形如 y+P(x)y+Q(x)y=0 或者 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 的微分方程就是二阶常系数微分方程,前者是齐次方程后者非齐次方程。

線形方程式の性質:

一:如果函数y1(x),y2(x)是方程的两个解,那么C1y1(x),C2y2(x)也是方程的解,其中C1C2是任意的。

二:如果性质一中的y1y2是方程的线性无关的解,那么C1y1(x),C2y2(x)便是方程的通解。

非線形方程式の性質:

一:如果y是非线性方程的一个特解,且Y=C1y1(x)+C2y2(x)是对应的齐次方程的通解,那么,y=y+Y是非齐次方程的通解。

二:假如存在这样形式的非齐次线性方程:y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x),假如y1y2分别是

y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)y+P(x)y+Q(x)y=f2(x) 的解,那么y=y1+y2是方程y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x)的解。

(2)一般线性方程的通解

首先介绍二阶常系数方程的特征方程的概念,其实就是把二阶导数项变为平方项,一阶导数项变为一阶次方项,一阶次数项变成常数项,常数项变成零之后的方程,下面有以下方程,我们找它的特征方程试一试:

ay+by+cy=0 ,那么特征方程为aλ2+bλ+c=0 ,特征方程的解记作λ1=r1λ2=r2

Δ=b24ac ,我们可以根据Δ的正负号的情况来判断线性齐次方程的解的情况。

§1 假如Δ>0 ,也就是r1r2,那么线性方程的通解为 Y=C1er1x+C2er2x

§2 假如Δ=0 , 也就是r1=r2=r,那么线性方程的通解为Y=(C1+C2x)erx

§3 假如Δ<0 , 也就是r1,2=α±iβ,那么线性方程的通解为Y=eαx(C1cosβx+C2cosβx)

(3)一般非线性方程的特解形式的确定

我们先设定Pn ,Rn为同阶数的待定系数的n次多项式,那么会有如下的根据自由项f(x)而作区分的情况。

§1 如果f(x)=Pn(x) :

1 如果0不是特征根,那么 y=Rn(x)

2 如果0是单特征根,那么 y=xRn(x)

3 如果0二重特征根,那么 y=x2Rn(x)

§2 如果f(x)=ekxPn(x)

1 如果k不是特征根,那么 y=ekxRn(x)

2 如果k是单特征根,那么 y=xekxRn(x)

3 如果k是二重特征根,那么 y=x2ekxRn(x)

🎻特别注意:假如 f(x)=Aekx,那么 y=Bxsekx, s=0,1,2 ;

§3 如果f(x)=ekx(a1cosωx+a2sinωx)

1 如果 k±iω 不是特征根,那么 y=ekx(A1cosωx+A2cosωx) ;

2 如果 k±iω 是特征根,那么 y=xekx(A1cosωx+A2cosωx)