QM-Formulas and Theorems in CN

发布于 2021-12-14  17 次阅读


云笔记页面,面向个人,不说废话的页面。此页面默认你比我更懂不需要解释。

最新更新时间戳:2021-12-24-2:10

重要的公式

重要的公式

1,量子力学部分

(1)H-F定理

E(λ) = <ψ(λ)|H^λ|ψ(λ)>dE(λ)dλ = <ψ(λ)|dH^λdλ|ψ(λ)>

(2)真正交矩阵性质

      RR~=R~R=1detR=| cosθsinθ  sinθcosθ |=1

R~R 的转置序列, |R| = 1 or -1

(3)幺正矩阵性质

RR+=R+R=1

(4)F表象

任何一个可以归一化的量子态 ψ ,可以看作是抽象的 Hilbert 空间的一个“矢量”,体系的任何一组对易的力学量完全集F(对易才有共同本征态)的共同本征态 ψk (k代表一组完备的量子数,在本节中代表离散谱),可以用来构成该态空间的一完备的基矢,称作 F表象。

(ψk,ψj=δkj)

体系的任何一个态 ψ 都可以用它们来展开:

ψ=kakψkak=(ψk,ψ)

如果存在另一个 F 的表象,那么 aa 的关系是

a1,2,3,...=Sa1,2,3,...k1,2,3...ak=a1,2,3,... ,其中 Sak=(ψa,ψk)

且有 S+S=SS+=I , Ska+=Sak

(5)一维谐振子的 x , p ,H 算符等

xmn=(ψm,xψn)=1α[n+12δm,n+1+n2δm,n1] Pmn=(ψm,p^ψn)=iα[n+12δm,n+1n2δm,n1]

Hmn=(n+12)ωδmn

ψn(x)=Ane12α2x2Hn(αx) An=(απ2nn!)12 α=mω,ω=km En=(n+12)ω,n=0,1,2,

xψn(x)=1α[n2ψn1(x)+n+12ψn+1(x)]x2ψn(x)=12α2[n(n1)ψn2(x)+(2n+1)ψn(x)+(n+1)(n+2)ψn+2(x)]ddxψn(x)=α[n2ψn1n+12ψn+1]d2dx2ψn(x)=α22[n(n1)ψn2(2n+1)ψn+(n+1)(n+2)ψn+2]

 

(6)一维谐振子本征值问题的代数解法以及粒子数表象(N的矩阵形式)

a^=α2(x^+imωp^),a^+=α2(x^imωp^),[a,a+]=1x^=12(a^++a^),p^=i2(a^+a^),H^=(a+a+12)=(N^+12),N^=a+a=N+N^a+|n=(n+1)a+|n,N^a|n=(n1)a|nN^|0=0|0,N^a+|0=1a+|0N^a+2|0=N^a+|1=(1+1)a+|1=2a+|1N^a+3|0=N^a+2|1=N^2a+|2=32a+|2N^|n=n|n,[N^,a]=a,[N^,a+]=a+|n=1n!(a+)n|0a+|n=n+1|n+1,a|n=n|n1xnn=12ωm(n+1δnn+1+nδnn1)Pnn=i2ωm(n+1δnn+1nδn1)ψn(x)=xn=1n!x|a+n|0

 

(7) 角动量相关

[jx,jy]=ijz,[jy,jz]=ijx,[jz,jx]=ijyj±=jx±ijy,[jz,j±]=±j±,[j+,j]=2jz[j+,j]+=j+j+jj+=2(j2jz2),j±j=j2jz2±jz
jm+1|j+|jm=(jm)(j+m+1)jm1|j|jm=(j+m)(jm+1)jm+1|jx|jm=12(jm)(j+m1)jm1|jx|jm=12(j+m)(jm+1)jm+1|jy|jm=i2(jm)(j+m+1)jm1|jy|jm=i2(j+m)(jm+1)

 

(8) 自旋

ψ(r,Sz)=(ψ(r,z)ψ(r,z))=ϕ(r)χ(Sz),χ(Sz)=(ab),|a|2+|b|2=x+x=(ab)(ab)=1α=X12(Sz)=(10),β=X12(Sz)=(01)X(Sz)=(ab)=aα+bβψ(r,Sz)=ψ(r,2)α+ψ(r,2)β
[Sx,Sy]=iSz,[Sy,Sz]=iSx,[Sz,Sx]=iSyS=2σ[σx,σy]=2iσz,[σy,σz]=2iσx,[σz,σx]=2iσyσx=(0110),σy=(0ii0),σz=(1001)
σ±=12(σx±iσy)σ+=(0100),σy=(0010)ξ(r)slξ(r)=12μ2c21rdVdrj=l+s,[j,sl]=0l2ϕ=l(l+1)ϕ,jzϕ=(m+12)ϕ
j2=l2+s2+2sl=l2+342+(σxlx+σyly+σzlz)=(l2+342+lzll+l2+342lz)l±=lx±ilyl±Ylm=(l±m+1)(lm)Yl,m±1

 

(9) 微扰论

E(1)=ψ(0)|H|ψ(0)E(2)=ψ(0)|H|ψ(1)E(3)=ψ(0)|H|ψ(2)=ψ(1)|(HE(1))|ψ(1)

9.1 非简并微扰论

9.1.1一级近似
|ψ(1)=nan(1)|ψn(0)an(1)=HnkEk(0)En(0),(nk)E(1)=Ek(1)=Hkk=ψk(0)|H|ψk(0),(n=k)Hnk=ψn(0)|H|ψk(0)
|ψk=|ψk(0)+|ψk(1)=|ψk(0)+nnkHnkEk(0)En(0)|ψn(0)Ek=Ek(0)+Hkk
E(2)=Ek(2)=ψk(0)|H|ψk(1)=n|Hnk|2Ek(0)En(0)Ek=Ek(0)+Hkk+n1|Hnk|2Ek(0)En(0)|HnkEk(0)En(0)|1 when nk
9.1.2二级近似
E(2)=Ek(2)=ψk(0)|H|ψk(1)=n|Hnk|2Ek(0)En(0)Ek=Ek(0)+Hkk+n|Hnk|2Ek(0)En(0)|HnkEk(0)En(0)|1 when nk

9.2简并态微扰论

利用体系的对称性以及其破缺去尽可能多地解除简并。

在此以一个例子来说明问题的解法:

设体系的Hamilton量为 H = H0 + H , H0 有两条非简并能级E1和E2靠得很近,而其余能级则离开很远,

H0|ψ1=E1|ψ1,H0|ψ2=E2|ψ2

则 H 的对角化可以局限在|φ1>和|φ2>张开的二维态空间中进行,在此空间中 H 表示为:

H=(E1H12H21E2),H12=φ1|H|φ2=H21 * 

假设H的本征态为

|ψ=c1|φ1+c2|φ2

则H的本征方程可以化为

H|ψ=E|ψ(EE1H12H12EE2)(C1C2)=0

方程存在非平庸解的情况为

|EE1H121H12EE2|=0

行列式的解为

E±=12[(E1+E2)±(E1E2)2+4|H12|2]

Ec=12(E1+E2)d=12(E2E1)(setE2>E1)E1=Ecd,E2=Ec+dE±=Ec±d2+|H12|2=Ec±|H12|1+R2R=d|H12|

1/R是表征微扰的重要性的一个重要参数,1/R>>1就是代表强耦合,1/R<<1代表弱耦合,改造为

tanθ=1R,H12=|H12|eiγ

如果 H12 为实数,则 γ=0(斥力),或者π(引力)

C1C2=H12EE1=|H12|eiγd2+|H12|2+d=eiγR2+1R=(R2+1+R)eiγ=cos(θ2)sin(θ2)eiγ

相应的本征态可以表示为

|ψ=cos(θ2)|φ1sin(θ2)eiγ|φ2=(cosθ2sinθ2eiγ)|ψ+=sin(θ2)|φ1+cos(θ2)eiγ|φ2=(sinθ2cosθ2eiγ)

讨论:

(a) 假如E1=E2(二重简并),γ=π(引力),则d=0,R=0(强耦合),θ=π2 ,

|ψ=12(|φ1±|φ2)

(b)设R>>1(弱耦合),即

|ψ|φ1+12R|φ2,EEcR|H12||ψ+12R|φ1|φ2,E+Ec+R|H12|